Невырожденность определенных интегралов

Если: - $f(x)$ - непрерывна на $[a, b]$ - $\forall{x \in [a, b]}\mathpunct{:}~~ f(x) \geq 0$ - $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx = 0$ То: $f(x) = 0$

От противного: $\exists{x_{0} \in [a, b]}\mathpunct{:}~~ f(x_{0}) > 0$ Тогда по отделимости от $0$ существует окрестность $(x_{0} - \delta, x_{0} + \delta)$ такая, что $$\forall{x \in (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta)}\mathpunct{:}~~ f(x) > \dfrac{f(x_{0})}{2}$$ Тогда: $$\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx &= \int_{a}^{x_{0} - \delta} f(x) \, dx + \int_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta} f(x) \, dx + \int_{x_{0}+\delta}^{b} f(x) \, dx \\ &\geq 0 + \int_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta} \dfrac{f(x_{0})}{2} \, dx + 0 = \dfrac{f(x_{0})}{2} \cdot 2\delta = f(x_{0})\delta > 0 \end{align}$$ Пришли к противоречию с условием. $~~\square$